Как называются два события сумма которых есть событие достоверное а произведение событие невозможное

Классическое определение вероятности события А состоит в том, что вероятность события А есть

A. отношение общего числа исходов к числу исходов, благоприятствующих событию А;

+ B. отношение числа благоприятствующих этому событию исходов, которые могут быть совместны и равновозможны, к общему числу всех возможных исходов;

C. отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий.

31. Не является случайным событие:

A. подбрасывание игрального кубика;

C. звонок в данную минуту по телефону;

D. положительный исход операции.

Будет ли сумма противоположных событий составлять полную группу?

C. зависит от природы случайных событий.

Событие А называется независимым от события В, если

A. вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет;

+B. вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет;

C. вероятность события В не зависит от того, произошло событие А•В или нет.

Несколько событий образуют полную группу, если они

A. попарно независимы и в сумме составляют достоверное событие;

+ B. попарно несовместны и в сумме составляют достоверное событие;

C. попарно противоположными и в сумме составляют достоверное событие;

D. попарно несовместны и в сумме составляют невозможное событие

Два события называются противоположными

A. если они равновозможные и в сумме составляют достоверное событие;

+ B. если они несовместны и в сумме составляют достоверное событие;

C. если сумма вероятностей их равна единице;

D. если они взаимно исключают друг друга.

Если случайные события образуют полную группу, то сумма их вероятностей

A. лежит между 0 и 1;

Вероятность произведения двух независимых событий равна

A. произведению вероятности одного из событий на условную вероятность второго;

+ B. произведению вероятности одного из событий на вероятность второго события;

C. произведению вероятности одного из событий на условную вероятность этого же события, при условии, что второе имело место.

38. Укажите, какие из перечисленных событий достоверные:

A. «два попадания при трех выстрелах»

B. «появление не более 18 очков при бросании трех игральных»

C. «наугад выбранное трехзначное число не больше 1000»

+ D. «из ящика с белыми шарами достают белый шар»

E. «три попадания при двух выстрелах»

Вероятность суммы двух событий А и В равна

Какая из формул верна?

+ А. 1 – (Р(А1) · Р(А2)Р ·…· Р(Аn));

В. 1 – (Р(А1) · Р(А2/ А1)Р ·…· Р(Аn));

С. 1 – (Р(Aср1) · Р(Aср2)Р ·…· Р(Aсрn)).

Безусловной вероятностью события А называется

+ A. вероятность события А, вычисленная при условии, что вероятность события В приняла определенное значение;

B. вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В;

C. вероятность события А, вычисленная при условии совместного появления события А и В;

D. вероятность события А, вычисленная без дополнительных условий.

45. Можно ли теорему умножения записать в виде: Р(А·В) = Р(А) · Р(В) = Р(В) · Р(А)

C. можно только в случае независимости события А от события В.

Будет ли вероятность суммы несовместимых событий равна единице?

A. зависит от природы случайных событий;

D. зависит от числа случайных событий.

Если событие невозможное, то вероятность

A. лежит между 0 и 1;

События составляют полную группу, если

A. сумма их вероятностей равна единице;

B. при одном испытании появление одного из них исключает появление других событий;

+ C. хотя бы одно из них не может появиться одновременно с другим;

D. при одном испытании они могут появиться все вместе.

В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Источник

Понятие случайного события, элементарный исход, множество элементарных событий. Алгебра событий: сумма, произведение событий. Несовместные события. Полная группа событий. Противоположеные события.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некото­рого испытания.

Испытание(опыт, эксперимент) — это процесс, включающий определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Исхо­дом опыта может быть результат наблюдения или измерения

Единичный, отдельный исход испытания назы­ваетсяэлементарным событием.

Случайное событие может состоять из несколь­ких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные.

Событие, которое обязательно произойдет в ре­зультате испытания, называетсядостоверным.

На­пример, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие дос­товерное; другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на землю в силу действия закона притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события ус­ловимся обозначать символом

Событие, которое не может произойти в резуль­тате данного опыта (испытания), называетсяне­возможным.

Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное; выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа также невозможное событие.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элемен­тарных исходов.

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их со­вместного наступления

Для несовместных событий их совместное на­ступление есть невозможное событие, а вероятность его равна нулю, следовательно, вероятность сум­мы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа п попарно несовместных событий

В случае нескольких совместных событий необ­ходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повтор­ный учет областей пересечения событий. Рассмот­рим три совместных события (рис.2.3).

Рис.2.3

Для случая трех совместных событий можно записать

Вероятность произведения двух независимых со­бытий А и В равна произведению их вероятностей

Распространим теоремы умножения на случаи п независимых и зависимых в совокупности событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна про­изведению вероятностей этих событий

Вероятность произведения двух зависимых со­бытий А и В равна произведению вероятности од­ного из них на условную вероятность другого

Несколько событий называются несовместны­ми в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других.

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы (одной партии) — 3 несовместных события

Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление од­ного из них не исключает появления других.

Например, при бросании 3 монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах.

Совокупность всех единственно возможных и не­совместных событий называется полной группой событий.

Различные события и действия с ними удобно рассматривать с помощью так называемых диаграмм Венна (по имени английского математика-логика Джона Венна).

Рис. 2.1 демонстрирует два противоположных со­бытия А и не А, которые дополняют друг друга до полной группы событий. Противоположное событие обозначается Ā.

Два единственно возможных и несовместных со­бытия называются противоположными.

Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник

Вероятность произведения двух независимых событий равна

B. произведению вероятности одного из событий на вероятность второго события;

Укажите, какие из перечисленных событий достоверные:

B. «появление не более 18 очков при бросании трех игральных костей»;

C. «наугад выбранное трехзначное число не больше 1000»;

D. «из ящика с белыми шарами достают белый шар»;

Вероятность суммы двух несовместимых событий A и B равна

Вероятность суммы двух совместимых событий A и B равна

Безусловной вероятностью события А называется

D. вероятность события А, вычисленная без дополнительных условий.

Можно ли теорему умножения записать в виде:

Будет ли вероятность суммы несовместимых событий равна единице?

A. зависит от природы случайных событий;

Если событие невозможное, то вероятность

Относительной частотой случайного события А называется величина, равная

A. отношению числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу равновозможных, несовместных событий;

Укажите классическое определение вероятности случайного события А:

A. отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу равновозможных, несовместных событий;

Укажите статистическое определение вероятности случайного события А:

C. отношение числа испытаний, в которых реализуется событие А, к общему числу испытаний;

Укажите диапазон значений, которые может принимать вероятность случайного события А:

Случайным событием называется событие, которое…

B. может произойти или не произойти при многократном повторении испытаний;

Укажите формулировку теоремы сложения вероятностей:

D. вероятность совместного появления независимых событий равна сумме их вероятностей.

Укажите формулировку теоремы умножения вероятностей:

B. вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей;

Какая из формул нахождения вероятности произведения верна?

Статистика показывает, что вероятность рождения мальчика равна 0,516. Какова вероятность того, что новорожденный ребенок окажется девочкой?

На приеме у участкового врача в течение недели побывало 35 пациентов, из которых 5 пациентам был поставлен диагноз – язва желудка. Определите относительную частоту появления на приеме пациента с заболеванием желудка.

Укажите классическое определение вероятности наступления события А:

A отношение числа случаев, благоприятствующих событию А, к общему числу равновозможных несовместных событий;

D отношение числа испытаний, в которых реализуется событие А, к общему числу испытаний.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник

Как называются два события сумма которых есть событие достоверное а произведение событие невозможное

Теория вероятности

Навигация

Лекция 2: Основные понятия теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения

1. Предмет теории вероятностей.

2. Краткая историческая справка.

3. Виды случайных событий.

4. Определение вероятности.

5. Теорема сложения вероятностей.

6. Теорема умножения вероятностей.

1. Предмет теории вероятностей.

Наблюдаемые нами явления (события) можно разделить на 3 вида: достоверные, невозможные и случайные.

Пример: Событие А- «Вода находится в сосуде в жидком состоянии» является достоверным, если она содержится при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 градусов по Цельсию.

Пример: Событие А- «Вода находится в сосуде в твердом состоянии» является достоверным, если она содержится при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 градусов по Цельсию.

Пример: Брошена монета. Событие А- «При бросании на монете выпал герб» является случайным.

Каждое случайное событие есть следствие действий многих случайных причин (сила, с которой брошена монета, форма монеты и т.д.). Учесть влияние всех этих причин невозможно, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому, теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. Она просто не в силах этого сделать.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, можно предсказать с небольшой погрешностью число появления герба при подбрасывании монеты большого числа раз.

2. Краткая историческая справка.

Задача кавалера де Мере: Два игрока поставили поровну, начали игру и условились, что тот кто раньше выиграет известное число партий, получит всю ставку. По некоторым обстоятельствам игра не могла быть окончена и прекратилась в тот момент, когда первому игроку не хватало до конца одной, а второму- двух побед. Спрашивается: «Как игроки должны поделить ставку между собой?». (Ответ: 3:1)

Эту задачу в 1654 году кавалер де Мере предложил для решения своему другу, знаменитому Блезу Паскалю. Тот решил ее и для более общего случая. Решив задачу сам, Паскаль предложил решить ее своему не менее знаменитому современнику Пьеру Ферма. Каждый из них решил задачу своим способом, и на основе этого у них завязалась переписка.

Таким образом, были положены основы математической теории вероятностей.

Страстный игрок в кости кавалер де Мере так же относится к числу основателей теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял известных математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам.

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именами Якова Бернулли (доказанная им теорема, получившая название «Закон больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.), Карла Гаусса, Пьера-Симона Лапласса, Абрахама де Муавра и т.д.

Случайные события или просто события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.

В дальнейшем, «совокупность условий» будем заменять на краткое выражение «произошло испытание».

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Полной группой случайных событий называется группа всевозможных, равновозможных и единственно-возможных событий.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

4. Определение вероятности.

4.1 Классическое определение вероятности (определяет количественные шансы наступления случайного события)

Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных случаев к общему числу всевозможных, равновозможных и единственно-возможных случаев.

Свойство 1: Вероятность достоверного события равна 1.

Свойство 2: Вероятность невозможного события равна 0.

Доказательство: т.к. m =0, то:

Свойство 3: Вероятность случайного события есть положительно число, заключенное между 0 и 1.

1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найдите вероятность того, что набрана нужная цифра.

2. В партии из 10 изделий- 7 нестандартных. Найдите вероятность того, что среди 6-ти взятых наудачу изделий:

а) все шесть нестандартные;

3. На карточках написаны буквы И, В, А, Н, О, В. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд. Найдите вероятность того, что при этом получится фамилия «Иванов»?

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо.

4.2 Статистическое определение вероятности (экспериментальное, опытное определение).

Статистической вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих исходов опытов к общему числу проведенных опытов (испытаний).

4.3 Геометрическое определение вероятности (вероятность попадания точки в заданную область).

Пример: На территории крытой военной базы стоит 4 цистерны. Какова вероятность прямого попадания с воздуха в одну из цистерн?

5. Теорема сложения вероятностей.

Суммой случайных событий А и В называется событие А+В, состоящее как из исходов, благоприятствующих событию А, так и из исходов, благоприятствующих событию В. (Исходы, благоприятствующие событиям А и В одновременно, считаются только один раз.)

Понятие суммы распространяется на любое число случайных событий А, В, С и т.д.

Пример: Из орудия произведено 2 выстрела. Событие А- «Зафиксировано попадание при первом выстреле», Событие В- «Зафиксировано попадание при втором выстреле», Событие А+В – «Зафиксировано попадание хотя бы при одном из двух выстрелов».

Теорема: Если случайные события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Пример: В урне имеется 30 шаров: 10- красных, 5- синих, 15- белых. Найдите вероятность появления цветного (не белого) шара.

Решение: Пусть событие А-«Случайным образом вынули красный шар», событие В- «Случайным образом вынули синий шар, событие А+В- «Случайным образом вынули красный или синий (цветной) шар». Т. К. события А и В- несовместны, то:

Случайные события А и называются противоположными, если они несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

Пример: Вероятность того, что день будет дождливым равна 0,7. Найдите вероятность того, что день будет не дождливым.

Решение: p =0,7, q =1- p =1-0,7=0,3.

Пример: В XVII веке во Франции страстный игрок в кости рыцарь де Мере хотел разбогатеть при помощи игры в кости и для этого он придумывал различные усложненные правила игры. Однажды, де Мере придумал следующие правила:

Первая игра де Мере: Игральная кость подбрасывается 4 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Рыцарь стал часто выигрывать и с ним перестали играть. Тогда он придумал вторую игру.

Вторая игра де Мере: 2 игральные кости подбрасывают 24 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадут две шестерки.

Эта игра его разорила.

Теорема: Если случайные события не совместны в совокупности, то

Следствие: Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна…

. События образуют полную группу случайных событий.

Произведением случайных событий А и В называют событие A*B, состоящее из тех и только тех исходов, которые благоприятствуют одновременно и событию А, и событию В.

Пример: Бросают 2 игральные кости и рассматривают случайные события А- «На первой кости выпало четное число очков (2 k )» и В- «На второй кости выпало число очков, кратное трем (3 l )». всех возможным исходов при этом- 36 (6 * 6). Событию А благоприятствует 18 исходов. Событию В благоприятствует 12 исходов. Событию A*B благоприятствует 6 исходов. (2-3; 4-3; 6-3; 2-6; 4-6; 6-6).

Теорема: Для любых случайных событий А и В справедливо равенство:

Доказательство: т.к. число A*B при суммировании исходов, благоприятствующих каждому из событий считается дважды, то один раз это число необходимо отнять.

Пример: Найдите вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет грань с четным числом очков или числом очков кратным трем.

Решение: Событие А-« На кости выпало четное число очков», событие В- «На кости выпало число очков кратное трем». События А и В- совместны.

6. Теорема умножения вероятностей.

Случайное событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Пример: Подбросили 2 монеты. Появление герба на второй монете не зависит от того, что выпало на первой и наоборот. Это два независимых друг от друга события.

Вероятность случайного события А, вычисленная при условии, что событие В имело место, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В).

Если А и В- независимые случайные события, то Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В).

Теорема: Вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

В урне 15 белых шаров и 20- черных. Найдите вероятность того, что оба шара, вынутых наудачу- белые.

Решение: Событие А- «Первым вынули белый шар», событие В- «вторым вынули белый шар». Тогда,

Теорема: Вероятность произведения нескольких случайных событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Теорема: Вероятность произведения двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A*B)=P(A)*P(B)

Доказательство: P(A*B)=P(A)*P(B/A)= P(A)*P(B), т.к. А и В- независимы. Ч.т.д.

Пример: В урне 7 белых шаров и 6- черных. Вынули первый шар, запомнили его цвет и вернули его обратно. После этого вынули второй шар. Найдите вероятность, что оба шара были белые.

Решение: Событие А- «Первым вынули белый шар», событие В- «Вторым вынули белый шар». События А и В – независимы. Тогда

Теорема: Вероятность произведения нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей.

Пример: Производится 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при втором- 0,8, при третьем- 0,9. Найдите вероятность того, что в результате этих трех выстрелов будет ровно одна пробоина.

Событие А- «будет одна пробоина в результате трех выстрелов».

Р(А)=0, 7*0,2 * 0,1+0,3 * 0,8 *0,1+0,3 * 0,2 * 0,9=0,014+0,024+0,054=0,092

Рассмотрим решение задачи кавалера де Мере.

Событие А- «Победил первый игрок».

Первый игрок может победить в первой же игре или во второй (потерпев в первой игре поражение). Тогда

Т.е. вероятность, что первый игрок одержит победу, равна 3/4. Для второго игрока эта вероятнсоть равна 1/3. Ставку необходимо разделить 3:1.

1. По преданию, когда-то в сельской местности России среди девушек существовало гадание. Одна из подруг зажимала в руке 6 травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу, а другая девушка связывала эти травинки попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж. Какова вероятность этого события?

Гадание чаще всего сбывалось, т.к. в этом возрасте действительно примерно 50 % девушек выходило замуж.

2. В XVII веке в Генуе возникла знаменитая лотерея. Генуэзская лотерея в XVIII веке разыгрывалась во Франции, Германии и других европейских странах. В лотерее разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают 5. По условию можно ставить ту или иную ставку на любой из 90 номеров или на любую совокупность 2-ух, 3-ех,4-ех или 5-ти номеров. Если участник лотереи ставит на один номер, то он получает при выигрыше в 15 раз больше ставки, если на 2 номера (амбо), то в 270 раз, если на 3 (терн)- в 5500 раз, если на 4 (катерн)- в 75000 раз, елс на 5 (квин)- в 1000000 раз. Какова вероятность выиграть в каждом из указанных 5-ти случаев.

Источник