Обязательно ли должны быть равны по модулю силы образующие пару как эти силы направлены

Техническая механика

Плоская система пар сил

Пара сил и момент пары

В предыдущей статье мы рассматривали сложение пары антипараллельных сил, не равных по модулю и пришли к выводу, что равнодействующая таких сил существует и ее величина равна алгебраической сумме сил; точка приложения равнодействующей пары антипараллельных сил находится в пропорциональной зависимости от соотношения между модулями сил пары.

Если пара антипараллельных сил состоит из одинаковых по модулю сил, то такая система сил называется парой сил или просто парой.
Понятие пары сил введено в механику в начале XIX века французским ученым Л. Пуансо (1777-1859), который разработал теорию пар.

Плоскость, в которой расположена пара, называется плоскостью действия пары. Расстояние между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары.
Эффект действия пары состоит в том, что она стремится вращать тело, к которому приложена. Ее вращающее действие определяется моментом пары.

Моментом пары называется произведение модуля одной из сил, составляющих пару, на плечо:

Правило знаков для моментов пары.

Условимся считать момент пары положительным, если она стремится вращать свое плечо против часовой стрелки, и наоборот.

1 para

Основные свойства пары сил

Основные свойства пары сил характеризуются следующими тремя теоремами.

Теорема I. Пара сил не имеет равнодействующей.

Теорема II. Алгебраическая сума моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости действия пары есть величина постоянная, равная моменту пары.

7 para

Выберем в плоскости действия пары произвольную точку А и примем ее за центр моментов:

Сложим правые и левые части этих равенств (не забываем, что |F1| = |F2|) :

Из этой теоремы следует, что при любом центре моментов пара сил войдет в уравнение моментов с одним и тем же знаком и одной и той же величиной.

Теорема III. Алгебраическая сумма проекций сил пары на любую ось всегда равна нулю.

2 para

Из теорем I и III следует, что пара сил не может входить ни в уравнение сил, ни в уравнение проекций сил, поскольку ее нельзя заменить ни равнодействующей, ни проекцией силы.

Эквивалентные пары

Две пары называют эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния свободного твердого тела.

Теорема об эквивалентных парах формулируется так: если моменты двух пар алгебраически равны, то эти пары эквивалентны.

3 para

Силы T и Т1 представляют собой уравновешенную систему, так как они равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположные стороны. На основании аксиомы IV такую систему можно отбросить.

Так как две пары порознь эквивалентны одной и той же третьей паре, то эти пары тоже будут эквивалентны между собой:

Из доказательства теоремы об эквивалентных парах вытекает четыре следствия:

Теорема о сложении пар

Теорема: Всякая плоская система пар эквивалентна одной результирующей паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар.

Тогда вместо заданной системы пар получим новую систему, эквивалентную данной, причем моменты данных и новых пар будут равны, т. е.

Момент этой результирующей пары:

Аналогичное доказательство можно привести для любой плоской системы пар, т. е. в общем виде можно записать:

Условие равновесия плоской системы пар

Применяя доказанную ранее теорему о сложении пар к плоской системе пар, находящихся в равновесии, запишем:

Следовательно, условие равновесия плоской системы пар в общем виде будет выглядеть так:

а формулируется следующим образом: для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар равнялась нулю.

Опоры и опорные реакции балок

Опоры балок по их устройству могут быть разделены на три основных типа (см. рисунок 6) : шарнирно-подвижная (опора А ), шарнирно-неподвижная (опора В ) и жесткая заделка (опора С ). На приведенном рисунке показаны два способа условного изображения шарнирно-неподвижной опоры (опора А ).

4 para

Применим правило для определения направления реакций связей и определим, какое направление могут иметь реакции представленных опор в зависимости от ограничений, накладываемых на балку.

Читайте также:  Пустыни родительный падеж множественное число как будет

Кроме перечисленных выше трех основных типов опор балок в конструкциях нередко балка свободно опирается на плоскость (поверхность) или ребро призмы (угол). В этих случаях направление реакций определяют, как для аналогичных типов связей, рассмотренных здесь.

Пример решения задачи по определению реакций опор балки

5 para

Решение.

Отбросим опоры, заменив их реакциями, и рассмотрим равновесие балки.
Так как пару сил можно уравновесить только парой, то реакции R опор А и В должны образовывать пару сил, причем реакция шарнирно подвижной опоры В перпендикулярна опорной плоскости.

Применим условие равновесия плоской системы пар и составим уравнение равновесия:

Пример решения задачи по определению реакции в жесткой заделке

Решение.

Источник

Пара сил. Момент пары сил. Теоремы о парах

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

caret right.6696d877b5de329b9afe170140b9f935

image075

Пара сил – система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, который характеризуется величиной – момент пары.

Он определяется:

Его модулем = F*d. d – расстояние между линиями действия сил пары, называется плечом пары.

Положением в пространстве плоскости действия пары.

Направлением поворота пары в этой плоскости.

Момент пары сил – вектор m(или M), модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары, на ее плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки.

image077

Две пары, лежащие в || плоскостях и имеющие одинаковый момент эквивалентны.

Все пары в пересекающихся плоскостях можно заменить одной парой с моментом, равным сумме моментов этих пар. Для абсолютно твердого тела пара – свободный вектор, определяемы только моментом. Момент перпендикулярен плоскости образуемой парой.

Пару можно заменить параллельной ей равной силе и парой с моментом, равным произведению этой силы на расстояние до новой точки приложения.

Теоремы о парах.

1) Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар. image078.

2) Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквиваленты.

3) Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскости ее действия. Т.е. момент пары сил является свободным вектором.

4) Система нескольких пар сил эквивалента одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов данных пар. Т.е. система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар. Условие равновесия пар сил: image056– геометрическая сумма их моментов равна 0. Пары сил, расположенные в одной плоскости, взаимно уравновеш-тся, если алгебраическая сумма их моментов åМi=0.

image079

Момент силы относительно точки – вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо и направленный перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, чтобы смотря ему навстречу, видеть силу стремящейся повернуться против хода час.стрелки. Плечо «h»– кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. image018 image080– момент силы равен векторному произведению вектора image060на вектор image062. Модуль векторного произведения: image081R×F×sina = F×h. Для плоской сист. сил обычно находят не вектор момента, а только его модуль: image082± F×h, >0 – против час.стр.; x, Fy, Fz – проекции силы на оси координат и точка 0 – начало координат, то

image083= (yFz – zFy) image069+ (zFx – xFz) image071+ (xFy – yFx) image073, откуда проекции момента силы на оси коорд.: Мx( image062) = yFz – zFy; Мy ( image062) = zFx – xFz; Мz ( image062) = xFy – yFx.

image085

Главный вектор – векторная сумма всех сил, приложенных к телу. Главный момент относительно центра – векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно того же центра.

image086

Теорема (лемма) о параллельном переносе силы : сила приложенная в какой-либо точке тверд. тела, эквивалента такой же силе, приложенной в любой др. точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Источник

Теоретическая механика

9. Плоская система сил. Пара сил. Момент пары сил.

Плоская система сил

Система сил, действующих на плоскости, называется плоской системой сил. Особенностью плоской системы сил заключается в том, что линии действия этих сил уже не пересекаются в одной точке.

Одним из важнейших понятий плоской системы сил является понятие пары сил.

Парой сил называется система двух, равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

1

Согласно аксиоме №1 пара сил не находится в равновесии и не имеет равнодействующую.

Читайте также:  Как настроить вейп чтоб было много дыма

Вычисление алгебраического момента пары сил. Для вычисления алгебраического момента пары сил, удобно воспользоваться результатом следующей теоремы.

Теорема. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра, лежащего в плоскости действия пары сил не зависит от выбора этого центра. Момент пары сил равен произведению одной из сил, составляющих пару на плечо пары.

Пусть в плоскости adee8ac30f5dcbf7faf2cb095a5a9978 действует пара сил, как показано на рис.С.24.

2

Тогда, согласно определению алгебраического момента пары сил и в соответствии с правилом знаков для момента силы относительно центра 2a75f2c7d6635e570d78938c5cd7d26a можно записать

Таким образом, алгебраический момент пары сил не зависит от расстояния до центра 2a75f2c7d6635e570d78938c5cd7d26a и равен произведению модуля силы 1df0cad57df92bc0cfbf96c638c3abc4 на плечо пары.

Что и требовалось доказать.

В дальнейшем необходимо рассмотреть следующие теоремы, выражающие основные свойства пар сил и устанавливающие условие эквивалентности двух пар сил.

Теорема. Две пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковое направление вращения, эквивалентны.

3

Доказательство теоремы проведем в несколько этапов.

4

4. Согласно теореме Вариньона

b9fa2ebbc3ee5b7cb8f8ed50ca25cf50

Из доказанной теоремы вытекают два важных следствия.

Следствие 1. У данной пары сил, не изменяя оказываемого действия, можно менять величину и направление сил, а также длину плеча, сохраняя при этом величину момента силы.

Следствие 2. Данную пару сил, не изменяя оказываемого действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары. Следовательно, действие пары на тело не зависит от положения пары в ее плоскости. Таким образом, момент пары является свободным вектором!

Источник

6. Пара сил. Момент пары сил. Теоремы о парах.

Пimg f2am3Lара сил – система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, который характеризуется величиной – момент пары. Он определяется:

Его модулем = F*d. d – расстояние между линиями действия сил пары, называется плечом пары.

Положением в пространстве плоскости действия пары.

Направлением поворота пары в этой плоскости.

Момент пары силвектор m(или M), модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары, на ее плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки.

img 4 15c

Две пары, лежащие в || плоскостях и имеющие одинаковый момент эквивалентны.

Все пары в пересекающихся плоскостях можно заменить одной парой с моментом, равным сумме моментов этих пар. Для абсолютно твердого тела пара – свободный вектор, определяемы только моментом. Момент перпендикулярен плоскости образуемой парой.

Пару можно заменить параллельной ей равной силе и парой с моментом, равным произведению этой силы на расстояние до новой точки приложения.

Теоремы о парах. 1) Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар. img. 2) Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквиваленты. 3) Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскости ее действия. Т.е. момент пары сил является свободным вектором. 4) Система нескольких пар сил эквивалента одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов данных пар. Т.е. система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар. Условие равновесия пар сил: img yTMX7R– геометрическая сумма их моментов равна 0. Пары сил, расположенные в одной плоскости, взаимно уравновеш-тся, если алгебраическая сумма их моментовМi=0.

Мimg QZbR9Iомент силы относительно точки – вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо и направленный перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, чтобы смотря ему навстречу, видеть силу стремящейся повернуться против хода час.стрелки. Плечо «h»– кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. img dCM8OT img N14WDc– момент силы равен векторному произведению вектора img esJev8на вектор img WdzwP3. Модуль векторного произведения: imgRFsin= Fh. Для плоской сист. сил обычно находят не вектор момента, а только его модуль: img uLjb48Fh, >0 – против час.стр.; 3 / 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая > >>

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Условия равновесия пар сил.

Лекция 4

Краткое содержание: Пара сил. Теорема о сумме моментов пары сил. Теорема об эквивалентности пар сил. Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость. Теорема о сложении пар сил. Условия равновесия пар сил.

ПАРА СИЛ

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

Читайте также:  Как отучить попугая есть свой помет

Плоскостью действия пары сил называется плоскость в которой расположены эти силы.

Плечом пары сил d называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Моментом пары сил называется вектор image002, модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия сил пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки. image004

image005

Теорема о сумме моментов пары сил. Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора этой точки и равна моменту этой пары сил.

image007

Доказательство: Выберем произвольно точку О. Проведем из нее в точки А и В радиус-векторы (Смотри Рис. 4.2).

image009, image011

image013

Что и требовалось доказать.

image014

Рис. 4.2

Две пары сил называются эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.

Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.

Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил image016.

image017Перенесем силу image019в точку image021, а силу image023в точку image025. Проведем через точки image027две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары. Соединим точки image027отрезком прямой и разложим силы image019в точке image021и image023в точке image025по правилу параллелограмма.

image029

image031

Так как image009, то

image034и image036

Поэтому image016эквивалентна системе image038, а эта система эквивалентна системе image040, так как image042эквивалентна нулю.

Таким образом мы заданную пару сил image016заменили другой парой сил image040. Докажем, что моменты у этих пар сил одинаковы.

Момент исходной пары сил image016численно равен площади параллелограмма image044, а момент пары сил image040численно равен площади параллелограмма image046. Но площади этих параллелограммов равны, так как площадь треугольника image048равна площади треугольника image050.

Что и требовалось доказать.

1. Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.

2. У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.

Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость.Действие пары сил на твердое тело не изменится от переноса этой пары в параллельную плоскость.

Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил image016в плоскости image052. Из точек приложения сил А и В опустим перпендикуляры на плоскость image054и в точках их пересечения с плоскостью image054приложим две системы сил image056и image058, каждая из которых эквивалентна нулю.

image060 image062 image064image066

image067Сложим две равные и параллельные силы image019и image069. Их равнодействующая image071параллель-на этим силам, равна их сумме и приложена посредине отрезка image073в точке О.

Сложим две равные и параллельные силы image023и image075. Их равнодействующая image077параллель-на этим силам, равна их сумме и приложена посредине отрезка image079в точке О.

Так как image081, то система сил image083эквивалентна нулю и ее можно отбросить.

Таким образом пара сил image016эквивалентна паре сил image040, но лежит в другой, параллельной плоскости. Что и требовалось доказать.

Следствие: Момент пары сил, действующий на твердое тело, есть свободный вектор.

Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.

Теорема о сложении пар сил.Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил. image085

image086

Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил image088в плоскости image052характеризуется моментом image090, а пара сил image092в плоскости image054характеризуется моментом image094.

Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В, image096 image098. Получаем пару сил image083.

image101

Что и требовалось доказать.

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

image103

Теорема.Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необхо-димо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.

image105

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

Источник

Adblock
detector